LANDASAN TEORI

SELAMAT DATNG DI SIMULASI RANGKAIAN RLC SERI

HOME - PENDAHULUAN - LANDASAN TEORI - TUJUAN - LANGKAH KERJA - SIMULASI - PEMBAHASAN

III. LANDASAN TEORI

Arus bolak-balik (AC/alternating current) adalah arus listrik dimana besarnya dan arahnya arus berubah-ubah secara bolak-balik. Berbeda dengan arus searah dimana arah arus yang mengalir tidak berubah-ubah dengan waktu. Bentuk gelombang dari listrik arus bolak-balik biasanya berbentuk gelombang sinusoida, karena ini yang memungkinkan pengaliran energi yang paling efisien. Namun dalam aplikasi-aplikasi spesifik yang lain, bentuk gelombang lain pun dapat digunakan, misalnya bentuk gelombang segitiga (triangular wave) atau bentuk gelombang segi empat (square wave).
Secara umum, listrik bolak-balik berarti penyaluran listrik dari sumbernya (misalnya PLN) ke kantor-kantor atau rumah-rumah penduduk. Namun ada pula contoh lain seperti sinyal-sinyal radio atau audio yang disalurkan melalui kabel, yang juga merupakan listrik arus bolak-balik. Di dalam aplikasi-aplikasi ini, tujuan utama yang paling penting adalah pengambilan informasi yang termodulasi atau terkode di dalam sinyal arus bolak-balik tersebut.

Sebuah sirkuit RLC (atau LCR sirkuit) adalah rangkaian listrik yang terdiri dari resistor, sebuah induktor, dan kapasitor , dihubungkan secara seri atau paralel. Bagian RLC dari nama ini karena surat-surat itu menjadi simbol listrik biasa untuk perlawanan , induktansi dan kapasitansi masing-masing. Rangkaian ini membentuk osilator harmonik untuk saat ini dan akan beresonansi hanya dalam cara yang sama seperti sebuah sirkuit LC akan. Perbedaan bahwa kehadiran resistor membuat adalah bahwa setiap osilasi disebabkan di sirkuit akan mati dari waktu ke waktu jika tidak terus berjalan dengan sumber. resistensi Beberapa tidak dapat dihindari di sirkuit nyata, bahkan jika resistor tidak secara khusus dimasukkan sebagai komponen. Sebuah sirkuit LC murni adalah suatu ideal yang benar-benar hanya ada dalam teori.

Dalam rangkaian ini, tiga komponen adalah dalam seri dengan sumber tegangan. Persamaan diferensial pengatur dapat ditemukan dengan mengganti ke tegangan Kirchhoff undang-undang (KVL) yang persamaan konstitutif untuk masing-masing dari tiga unsur dimana mana $\ Textstyle v_R, v_L, v_C$ adalah tegangan di R, L dan C masing-masing dan $\ Textstyle v (t)$ adalah waktu bervariasi tegangan dari sumber. Mengganti dalam persamaan konstitutif, $Ri (t) + L {{di} \ over {dt}} + {1 \ over C} int_ \ {- \ infty} ^ {\ tau = t} i (\ tau) \, d \ tau = v ( t)$

Untuk kasus yang sumbernya adalah tegangan tidak berubah, membedakan dan membagi oleh L mengarah pada persamaan diferensial orde kedua:

${{D ^ 2 i (t)} \ over {dt ^ 2}} + {R \ over L} {{di (t)} \ over {dt}} + {1 \ over {LC}} i (t ) = 0$

Hal ini berguna dapat dinyatakan dalam bentuk yang lebih umum berlaku:
${{D ^ 2 i (t)} \ over {dt ^ 2}} + 2 \ alpha {{di} \ over {dt}} + {\ omega_0} ^ 2 i (t) = 0$

$\ Alpha \,$ dan $\ Omega_0 \,$ . keduanya dalam satuan frekuensi sudut . $\ Alpha \,$ disebut frekuensi neper, atau atenuasi, dan merupakan ukuran seberapa cepat respon transien rangkaian akan mati pergi setelah stimulus telah dihapus. Neper terjadi dalam nama karena unit juga bisa dianggap nepers per detik, neper menjadi unit atenuasi. $\ Omega_0 \,$ adalah frekuensi resonansi sudut dan bicarakan nanti.

Untuk kasus rangkaian RLC seri kedua parameter yang diberikan oleh
$\ Alpha = {R \ over 2L}$ dan $\ Omega_0 = {1 \ over \ sqrt {LC}}$
Sebuah parameter yang berguna adalah faktor redaman, ζ yang didefinisikan sebagai rasio dari dua,
$\ Zeta = \ frac {\ alpha} {\ omega_0}$
Dalam kasus rangkaian RLC seri, faktor redaman diberikan oleh,
$\ Zeta = {R \ over 2} \ sqrt {C \ over L}$
ilai faktor redaman menentukan jenis rangkaian transien yang akan menunjukkan. Beberapa penulis tidak menggunakan $\ Zeta \,$ dan panggilan $\ Alpha \,$ faktor redaman.

Keadaan transien

Persamaan diferensial untuk rangkaian memecahkan dalam tiga cara yang berbeda tergantung pada nilai $\ Scriptstyle \ zeta \,$ . . Ini adalah underdamped $\ Scriptstyle \ zeta <1 \,$ ), overdamped , Overdamped ( $\ Scriptstyle \ zeta> 1 \,$ ) Dan teredam kritis . Persamaan diferensial memiliki persamaan karakteristik.
$S ^ 2 + 2 \ alpha s + {\ omega_0} ^ 2 = 0$
Akar dari persamaan di s,
$s_1 = - \ alpha + \ sqrt {\ alpha ^ 2 - {\ omega_0} ^ 2}$
$s_2 = - \ alpha - \ sqrt {\ alpha ^ 2 - {\ omega_0} ^ 2}$
Solusi umum dari persamaan diferensial adalah eksponensial baik root atau superposisi linier dari kedua,
$i (t) = e ^ {A_1 s_1 t} + A_2 e ^ {t} s_2$
Koefisien A 1 dan A 2 ditentukan oleh kondisi batas dari masalah spesifik yang dianalisis. Artinya, mereka diatur oleh nilai-nilai arus dan tegangan pada rangkaian pada awal transien dan nilai dianggap mereka akan mengendap setelah waktu tak terbatas.
Tanggapan overdamped ( $\ Scriptstyle \ zeta> 1 \,$ ) Adalah,
$i (t) = e ^ {A_1 - \ omega_0 (\ zeta + \ sqrt {\ zeta ^ 2 - 1}) t} + e ^ A_2 {- \ omega_0 (\ zeta - \ sqrt {\ zeta ^ 2 - 1 }) t}$

Respon overdamped adalah peluruhan dari arus transient tanpa osilasi
Tanggapan underdamped ( $\ Scriptstyle \ zeta <1 \,$ ) Adalah
$i (t) = e ^ B_1 {- \ alpha t} \ cos (\ t omega_d) + e ^ B_2 {- \ alpha t} \ sin (\ t omega_d) \,$
Dengan menerapkan standar identitas trigonometri dua fungsi trigonometri dapat dinyatakan sebagai sinusoidal tunggal dengan pergeseran fas
$i (t) = e ^ B_3 {- \ alpha t} \ sin (\ t omega_d + \ varphi) \,$

Respon underdamped adalah osilasi membusuk di frekuensi $\ Omega_d \,$ . . The meluruh osilasi sebesar suku ditentukan oleh atenuasi $\ Alpha \,$ . . dalam Eksponensial $\ Alpha \,$ menggambarkan amplop dari osilasi. B 1 dan B 2 (atau B 3 dan pergeseran fasa $\ Varphi \,$ dalam bentuk kedua ) adalah konstanta sewenang-wenang ditentukan oleh kondisi batas. Frekuensi $\ Omega_d \,$ diberikan oleh,
$\ Omega_d = \ sqrt {{\ omega_0} ^ 2 - \ alpha ^ 2} = \ omega_0 \ sqrt {1 - \ zeta ^ 2}$
Hal ini disebut frekuensi resonansi teredam atau teredam frekuensi alam. Ini adalah rangkaian frekuensi secara alami akan berosilasi di jika tidak didorong oleh sumber eksternal. Frekuensi resonansi, $\ Omega_0 \,$ , Yang merupakan frekuensi di mana rangkaian tersebut akan beresonansi ketika didorong oleh osilasi eksternal, mungkin sering disebut sebagai frekuensi resonansi undamped untuk membedakannya.
Tanggapan teredam kritis ( $\ Scriptstyle \ zeta 1 = \,$ ) Adalah
$i (t) = t ^ e D_1 {- \ alpha t} + e ^ D_2 {- \ alpha t} \,$
Tanggapan kritis teredam mewakili respon rangkaian yang meluruh dalam waktu tercepat tanpa pergi ke osilasi. Pertimbangan ini penting dalam sistem kontrol di mana ia diperlukan untuk mencapai keadaan yang diinginkan secepat mungkin tanpa melampaui batas 1. D dan D 2 adalah konstanta sewenang-wenang ditentukan oleh kondisi batas.

Gambar di atas adalah Plot menunjukkan underdamped dan overdamped tanggapan dari rangkaian RLC seri. Plot redaman kritis adalah kurva merah tebal. Dan Plot dinormalisasi untuk L = 1, C 1 = dan $\ Scriptstyle \ omega_0 1 = \,$

Rangkaian Seri RLC dapat dianalisis untuk kedua AC perilaku negara stabil dan sementara menggunakan Transformasi Laplace. Jika sumber tegangan di atas menghasilkan gelombang dengan Laplace-transformasi V (s) (mana s adalah frekuensi kompleks $s = \ sigma + i \ omega \,$ ), KVL dapat diterapkan dalam domain Laplace:
$V (s) = I (s) \ left (R + Ls + \ frac {1} {Cs} \ right)$
Di mana (s) adalah transformasi Laplace-arus melalui semua komponen.Penyelesaian untuk I (s):
$I (s) = \ frac {1} {R + Ls + \ frac {1} {Cs}} V (s)$
Dan menata ulang, kita mendapati bahwa
$I (s) = \ frac {s} {(s ^ 2 + {R \ over L} s + \ frac {1} {LC} \ right) L \ left} V (s)$

Penyelesaian untuk Laplace pengakuanY (s):
$Y (s) = {I (s) \ over V (s)} = \ frac {s} {^ L \ left (s 2 + {R \ over L} s + \ frac {1} {LC} \ right )}$
Menyederhanakan menggunakan parameter α dan o ω didefinisikan dalam bagian sebelumnya
$Y (s) = {I (s) \ over V (s)} = \ frac {s} {L \ left (s ^ 2 + 2 \ alpha s + {\ omega_0} ^ 2 \ right)}$

Para nol Y (s) adalah nilai-nilai dari s seperti bahwa Y (s) = 0:
$s 0 = \,$ dan $| S | \ rightarrow \ infty$
Kutub Y (s) adalah nilai-nilai dari s sehingga $Y (s) \ rightarrow \ infty$ . Dengan rumus kuadrat, kita menemukan
$s = - \ alpha \ pm \ sqrt {\ alpha ^ 2 - {\ omega_0} ^ 2}$
Kutub Y (s) yang identik dengan akar s 1 dan s 2 dari polinomial karakteristik dari persamaan diferensial di bagian atas.

Untuk E sewenang-wenang (t), solusi yang diperoleh dengan transformasi invers I (s) adalah:
$I (t) = \ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {t} E (t-\ tau) e ^ {- \ alpha \ tau} \ left (\ cos \ omega_d \ tau - {\ alpha \ over \ omega_d} \ sin \ omega_d \ tau \ right) d \ tau$
dalam kasus underdamped (ω 0> α)
$I (t) = \ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {t} E (t-\ tau) e ^ {- \ alpha \ tau} (1 - \ alpha \ tau) d \ tau$
dalam kasus teredam kritis (ω 0 = α)
$I (t) = \ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {t} E (t-\ tau) e ^ {- \ alpha \ tau} \ left (\ tongkat pendek \ omega_r \ tau - {\ alpha \ over \ omega_r} \ Sinh \ omega_r \ tau \ right) d \ tau$
dalam kasus overdamped (ω 0 <α)
mana $\ Omega_r = \ sqrt {\ alpha ^ 2 - {\ omega_0} ^ 2}$
Dan tongkat pendek dan Sinh adalah biasa fungsi hiperbolik.

Sinusoidal mapan analisis dinormalkan untuk = ohm, R 1 C = 1 farad, L = 1 henry, dan V = 1,0 volt
$s = i \ omega \,$
Mengambil besarnya persamaan di atas dengan substitusi ini:
$\ Displaystyle | Y (s = i \ omega) | =$ $\ Frac {1} {\ sqrt {R ^ 2 + \ left (\ omega L - \ frac {1} {\ omega C} \ right) ^ 2}}.$
dan arus sebagai fungsi ω dapat ditemukan dari
$\ Displaystyle | I (i \ omega) | =$ $| Y (i \ omega) | | V (i \ omega) |. \,$
Perhatikan bahwa ada puncak pada m a i g (ω) = 1. This is known as the resonance frequency. Ini dikenal sebagai frekuensi resonansi. Penyelesaian untuk nilai ini:
$\ Omega_0 = \ frac {1} {\ sqrt {L / C}}.$

IMPEDENSI RLC SERI

Impedansi listrik, atau lebih sering disebut impedansi, menjelaskan ukuran penolakan terhadap arus bolak-balik sinusoid. Impedansi listrik memperluas konsep resistansi listrik ke sirkuit AC, menjelaskan tidak hanya amplitudo relatif dari tegangan dan arus, tetapi juga fasa relatif. Impedansi adalah kuantitas kompleks $\tilde{Z}$ dan istilah impedansi kompleks mungkin dapat dipertukarkan, bentuk kutub secara praktis menunjukkan baik karakteristik magnitudo dan fasa